Cette page correspond à la partie du cours Aspects algorithmiques de la combinatoire donnée par Jérémie Bouttier, dans le cadre de la deuxième année du Master Parisien de Recherche en Informatique (MPRI).

Dimers and related combinatorial models of statistical mechanics (2024-2025)

This year, the course was taught in English. It was more or less based on Chapter 2 of these lectures notes, which are in French and in an unfinished state, to be supplemented with the more recent lecture-specific material available below :

• 8 November : introduction, notions from graph theory, the dimer model and some of its avatars, dimers on rectangular grids and the Temperley bijection. Slides
• 15 November : the LGV lemma and application to the enumeration of lozenge tilings of an hexagon, the pfaffian of a skew-symmetric matrix. Slides
• 22 November : exercise session supervised by Guillaume Chapuy
• 29 November : partial exam, correction (both written jointly with Guillaume Chapuy)
• 13 December : Kasteleyn’s method for enumerating dimer configurations via pfaffian orientations of graphs. Slides
• 10 January : around the Ising and Potts models. After a short introduction, we worked on some exercises (in French).
• 17 January : lozenge tilings, plane partitions, and the RSK algorithm. Here are my handwritten notes (this material is not given in the above lecture notes, but may be found in classical textbooks such as Enumerative Combinatorics, volume 2 by Stanley).

Autour de quelques modèles bidimensionnels de physique statistique à l’équilibre (2023-2024)

Séances : 4 octobre, 25 octobre, 8 novembre, 11 novembre 2023
Attention : pas de séance le 1er novembre ! (Toussaint)

• séance du 4 octobre :
  • notions de physique statistique : distribution de Boltzmann, exemple du modèle d’Ising
    (pour des simulations du modèle d’Ising 2D, voir par exemple la page 10 des notes de cours d’Yvan Velenik)
  • les modèles de dimères et leurs différents avatars (pavages par dominos/losanges)
  • bijection de Temperley entre dimères et arbres couvrants sur le réseau carré
    Images montrées pendant le cours
• séance du 25 octobre :
  • bijection de Temperley (suite), formule de Fisher-Kasteleyn-Temperley pour le nombre de pavages par dominos d’un rectangle
  • la formule de MacMahon pour le nombre de pavages par losanges d’un hexagone : preuve par le lemme de Lindström–Gessel–Viennot et calcul de déterminant
• séance du 8 novembre :
  • méthode de Kasteleyn pour l’énumération des configurations de dimères sur les graphes plans : le cas biparti (voir aussi le chapitre 2 des notes de cours de Béatrice de Tilière) et le cas non nécessairement biparti (pfaffien, orientations pfaffiennes)
• séance du 15 novembre :
  • méthode de Kasteleyn : compléments, exemples, application au calcul de la fonction de partition du modèle d’Ising sur réseau carré

L’examen, portant également sur la partie du cours donnée par Guillaume Chapuy, aura lieu le mercredi 29 novembre 2023 de 13h à 15h30.