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L’extension de la théorie de Brunn-Minkowski aux différences de Minkowski de corps convexes (appelés « hérissons ») et ses applications analytiques et géométriques.

Bien que connue depuis l’antiquité, ce n’est qu’au XXème siècle que la notion de convexité a commencé à révéler toute l’étendue et la richesse de ses applications dans des branches des mathématiques aussi variées que la théorie des nombres, la géométrie, l’analyse fonctionnelle, la théorie des graphes, etc.

Depuis le milieu des années 90, je développe une théorie qui étend la notion de corps convexe en conférant à l’ensemble des objets géométriques considérés une structure algébrique qui autorise des opérations de décomposition des convexes jusqu’alors inenvisageables. Cette théorie des différences de Minkowski de corps convexes (appelées « hérissons ») a déjà permis plusieurs avancées majeures dans l’étude des convexes et dans leurs applications à l’analyse et à la géométrie. Elle m’a en particulier permis de résoudre une célèbre conjecture d’A.D. Alexandrov qui est reconnu comme l’un des plus grands géomètres russes du XXème siècle. Le seul développement de cette théorie en lien avec ses applications m’a conduit à publier – sans cosignataire plus d’une trentaine d’articles originaux dans des revues internationales à comité de lecture. Plusieurs de ces travaux ont d’ores et déjà une « descendance » importante, en particulier chez les mathématiciens russes.

Mes premiers travaux de recherche, entamés en DEA et poursuivis en thèse, portaient sur les feuilletages à selles de Morse des surfaces orientables de genre g > 1. Les travaux de G. Levitt (Topology, 1982) décrivaient la structure qualitative d’un tel feuilletage en termes de décompositions en pantalons dans le cas des feuilletages orientables.

Mes premiers travaux ont consisté à établir des résultats analogues dans le cas d’un feuilletage non orientable en introduisant les outils théoriques nécessaires (Bull. de la SMF, 1984).

Sur la lancée de mes premiers travaux d’exploration des « hérissons » de ℝ^3 réalisés en thèse (Bull. Sci. Math, 1997), j’ai entrepris un long travail de réflexion solitaire consistant à : 1. Dégager le sens véritable de la notion de « hérisson » et l’affranchir des conditions de régularité superflues ; 2. Mettre au point des outils et des techniques indispensables à l’étude de ces objets géométriques; 3.Déterminer les champs d’applications potentiels de cette notion à l’étude des corps convexes et par delà à l’analyse.

Il m’est progressivement apparu que : 1. Cette notion de « hérissons » ne devait pas se réduire à la notion d’enveloppes paramétrées par leur application de Gauss dans ℝ^(n+1), forme sous laquelle elle était initialement apparue, mais qu’elle devait s’étendre considérablement jusqu’à se confondre avec la notion de différence de Minkowski de corps convexes quelconques de R^(n+1) (notion qui n’existait alors que d’un point de vue formel) ; 2. Les hérissons pouvaient être un formidable outil d’investigation pour l’étude géométriques des corps convexes dans la mesure où il est possible de décomposer judicieusement un corps convexe à étudier en une somme de hérissons afin de mettre en évidence ses propriétés.

Si la première observation ne verra poindre son réel aboutissement que dans des travaux relativement récents (CRAS 2003, Can. J. Math 2006, Eur. J. Comb. 2010, J. of Geom. 2014, Beitr. Algebra Geom. 2015), la seconde prouvera assez rapidement la richesse de ses applications géométriques et analytiques.

Le premier point culminant des applications de cette méthode d’étude des corps convexes par décomposition, est certainement la construction (CRAS 2001) d’un contre-exemple à deux fameuses conjectures, l’une géométrique (A.D. Alexandrov, 1939) et l’autre analytique (D. Koutroufiotis et L. Nirenberg, 1973) mettant en outre en évidence une erreur dans une «preuve » de la conjecture d’Alexandrov proposée par A.V. Pogorelov en 1999.

Ce contre-exemple et le premier exemple de «polytope (fortement) hyperbolique » (CRAS 2003) que son mode de construction m’a permis d’obtenir par une procédure de discrétisation se révèleront extrêmement riche en applications ultérieures. Ils ont en particulier ouvert la voie à l’élaboration d’une nouvelle théorie des polyèdres hyperboliques.

Voir à ce sujet les travaux de G. Panina (Saint-Pétersbourg) et de ses collaborateurs et élèves.

Les applications de la notion de hérisson que j’ai progressivement dégagée sur une vingtaine d’années portent donc pour partie sur l’étude des corps convexes et de leurs différences de Minkowski : zonoïdes, corps de projection et généralisations (Adv. In Math., 2001, voir la rubrique « Publications »), théorie de Brunn-Minkowski et généralisation (Arch. Math. 1996 et 1999, Demonstratio Math. 1999, Canad. J. Math. 2006, Cent. Eur. J. Math. 2012, Result Math. 2013, Beitr. Algebra Geom. 2015, Monatsh. Math. 2017), corps convexes de largeur constante et généralisations (CRAS 1995, Amer. Math. Monthly 1996, Ann. Pol. Math. 1997, Pub. Mat. 2000, Canad. Math. Bull. 2021), polytopes et généralisations sous forme de « polytopes virtuels » (CRAS 2003, J. Geom. 2014) avec des retombées sur des domaines connexes (voir par exemple certains travaux de G. Panina dont « Pointed spherical tilings and hyperbolic virtual polytopes », 2009).

Parmi les résultats marquants dans les applications aux corps convexes, on peut noter en particulier l’introdution d’une notion naturelle de co-différentiation des surfaces convexes de ℝ^3 dans l’espace de Lorentz-Minkowski ℝ^(3,1) conduisant à une série d’inégalités géométriques pour les focales de surfaces convexes (CRAS 2010) et un raffinement de l’inégalité d’Alexandrov-Fenchel (Monatsh. Math. 2017, voir la rubrique «Publications»).

Ces travaux ont conduit à l ‘élaboration d’un « géométrie de co-contact » (adjointe de la géométrie métrique de contact) permettant de mieux comprendre des surfaces marginalement piégées d’un espace-temps en les envisageant comme des « co-hérissons » définis par une différentielle de support via une « condition de co-contact» (Adv. Applied Math. 2018)).

Cette théorie des hérissons ne se limite évidemment pas à l’espace euclidien : elle s’étend en particulier à l’espace de Lorentz-Minkowski (voir à ce sujet Canad. Math. Bull. 2015, « Plane Lorentzian and Fuchsian hedgehogs » et les travaux de F. Fillastre « Fuchsian convex bodies : basics of Brunn-Minkowski theory », GAFA 2013).

La théorie des hérissons a également des rapports avec une série d’autres champs d’applications géométriques : le « Calcul d’Euler » introduit indépendamment par P. Schapira er O. Vigo (voir « Hedgehog theory via Euler calculus » Beitr. Algebra Geom. 2015), la géométrie algébrique et la géométrie symplectique (J. Symplectic Geom. 2021), les modèles du plan projectif (version hérisson de la surface romaine de Steiner en réponse à un problème soulevé par D. Hilbert et S. Cohn-Vossen – Bull. Sci. Math. 1995), les surfaces minimales (Arch. Math. 1996, Ill. J Math. 2004), la théorie des singularités (Bull. Sci. Math. 1995, Pub. Mat. 2000, Arch. Math. 2002, Pub. Mat. 2015), les courbes fractales (Demonstratio Math. 2001), etc.

Elles sont enfin au service de l’analyse : équations de Monge-Ampère (CRAS 2001, Adv. in Math. 2001, Eur. J. Comb. 2010, Cent. Eur. J. Math. 2012), théorèmes d’oscillation et de comparaison de type Sturm (Arch. Math. 2003, Ill. J. Math. 2008, Eur. J. Comb. 2010 – voir la rubrique « Publications »).

En résumé, depuis maintenant près de 35 ans mon travail de recherche porte pour l’essentiel sur l’élaboration d’une théorie aussi complète que possible des hérissons, envisagés comme différences de Minkowski de corps convexes quelconques, en lien avec ses applications à la géométrie et à l’analyse.

Travaux de recherche :

Hedgehogs are geometrical objects that describe the Minkowski
differences of arbitrary convex bodies in R^(n+1).

Subtracting two convex hypersurfaces (with positive Gauss curvature) by
subtracting the points corresponding to a same outer unit normal to
obtain a (possibly singular and self-intersecting) hypersurface:

Ci-dessous une surface à courbure de Gauss négative paramétrée par sa normale
et n’ayant que 4 points singuliers dans R3
(voir plus bas l’article Contre-exemple à une caractérisation conjecturée de la sphère)

Publications

Corps convexes et hérissons

  Hérissons projectifs et corps convexes de largeur constante. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Série I, 321, 439-442, 1995.  
  Hedgehogs of constant width and equichordal points. Ann. Polon. Math. 67, 1997, 285-288.  
  De nouvelles inégalités géométriques pour les hérissons. Arch. Math. 72, 1999, 444-453.  
  Geometric inequalities for plane hedgehogs. Demonstratio Math. 32, 1999, 177-183.  
  Hedgehogs and zonoids. Adv. Math. 158, 2001, 1-17.  
  Contre-exemple à une caractérisation conjecturée de la sphère. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Série I, 332, 2001, 41-44. https://www.inspe-paris.fr/sites/www.espe-paris.fr/files/file_fields/2017/11/01/cras2001.pdf  
  Habilitation à Diriger des Recherches en Mathématiques, La théorie des hérissons (différences de corps convexes) et ses applications, Université Paris VII, 2001.  
  Geometric study of Minkowski differences of plane convex bodies. Canad. J. Math. 58, 2006, 600-624.  https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/geometric-study-of-minkowski-differences-of-plane-convex-bodies/C13B5680AAEA98ABA76F1FB9956A968A
  Dérivation des surfaces convexes de R3 dans l’espace de Lorentz et étude de leurs focales. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348, 2010, 1307–1310. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00432273v3/document 
  Uniqueness results for the Minkowski problem extended to hedgehogs. Cent. Eur. J. Math. 10, 2012, 440–450. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00591673/document
  Gauss rigidity and volume preservation under preserving curvature deformations for hedgehogs. Results Math. 63, 2013, 973-983.  https://www.inspe-paris.fr/sites/www.espe-paris.fr/files/file_fields/2017/11/01/rimapublie.pdf
  Plane Lorentzian and Fuchsian hedgehogs. Canad. Math. Bull. 58, 2015, 561–574.https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-mathematical-bulletin/article/plane-lorentzian-and-fuchsian-hedgehogs/14EC407A45BF12B5CE5225B54EBF7233
  Hedgehog theory via Euler calculus. Beitr. Algebra Geom. 56, 2015, 397-421. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00776724v2/document
  A stability estimate for the Aleksandrov-Fenchel inequality under regularity assumptions. Monatshefte für Mathematik 182 (2017), 65-76. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01188332/document  
Non-circular algebraic curves of constant width : an answer to Rabinowitz, to appear in the
Canadian Mathematical Bulletin.

https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-mathematical-bulletin/article/abs/noncircular-algebraic-curves-of-constant-width-an-answer-to-rabinowitz/525D3FDBC6F2FDFC96A73088AD69DE32
On the concurrent normals conjecture for convex bodies. Mathematika 68 (2022), 620-650.
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03292275v5/document
Courbe algébrique réelle de largeur constante et de degré 8 dont l’équation est relativement simple
(voir article Non-circular algebraic curves of constant width : an answer to Rabinowitz)

Hérissons et surfaces marginalement piégées

New insights on marginally trapped surfaces: the hedgehog theory point of view. Advances in Applied Math. 101 (2018), 320-353. https://www.inspe-paris.fr/sites/www.espe-paris.fr/files/file_fields/2018/10/26/advancesinappliedmath.1012018320353.pdf

Hérissons et géométrie symplectique

Real and complex hedgehogs, their symplectic area, curvature and evolutes. The Journal of Symplectic Geometry 19, (2021), 567-606. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02948386v2/document

Hérissons et singularités

  A Note on the Tennis Ball Theorem, Amer. Math. Monthly 103, 1996, 338-340.  
  Sur les hérissons projectifs (enveloppes paramétrées par leur application de Gauss), Bull. Sci. Math. 121, 1997, 585- 601.  
  Indice d’un hérisson : études et applications, Publ. Mat. 44, 2000, 237-255.  
  Sommets et normales des courbes convexes de largeur constante et singularités des hérissons, Arch. Math. 79, 2002, 489-498.  
  Les multihérissons et le théorème de Sturm-Hurwitz, Arch. Math. 80, 2003, 79-86.  
  Un théorème de comparaison de type Sturm par une étude géométrique des multihérissons plans, Illinois J. Math. 52, 2008 , 981–993.  
  New notion of index for hedgehogs of R3 and applications . European J. Combin. 31, 2010, 1037–1049.  
  Tout chemin générique de hérissons réalisant un retournement de la sphère dans R3  comprend un hérisson porteur de queues d’aronde positives. Publ. Mat. 59, 2015, 339–351.
https://projecteuclid.org/journals/publicacions-matematiques/volume-59/issue-2/Tout-chemin-g%C3%A9n%C3%A9rique-de-h%C3%A9rissons-r%C3%A9alisant-un-retournement-de-la/pm/1438261119.full
Une version hérisson de la surface romaine de Steiner

Hérissons et surfaces minimales

  Hedgehogs and area of order 2, Arch. Math. 67, 1996, 156-163.  
  A Brunn-Minkowski theory for minimal surfaces. Illinois J. Math. 48, 2004, 589-607.  https://projecteuclid.org/journals/illinois-journal-of-mathematics/volume-48/issue-2/A-Brunn-Minkowski-theory-for-minimal-surfaces/10.1215/ijm/1258138401.full
Symétrisation centrale de la surface de Enneper

Hérissons et courbes fractales

  A fractal projective hedgehog, Demonstratio Math. 34, 2001, 59-63.  https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/dema-2001-0108/html
A fractal projective hedgehog

En collaboration avec Gaiane Panina :

  Singularities of virtual polytopes. J. Geom. 105, 2014, 343-357.  

Tour d’horizon sur les hérissons

  Voyage dans l’univers des hérissons, dans Ateliers Mathematica (ouvrage collectif), Paris : Vuibert (2003). https://www.inspe-paris.fr/sites/www.espe-paris.fr/files/file_fields/2017/11/01/ateliersmathematica.pdf  

Feuilletages

  Feuilletages des surfaces et décompositions en pantalons, Bull. Soc. Math. France 112, 1984, 387-396.  
  Thèse de doctorat de troisième cycle : Feuilletages des surfaces et hérissons dans R3, Université Paris VII, 1985.  

 Hérissons et polytopes

Théorie des hérissons et polytopes. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Série I, 336, 2003, 241-244.  
 Existence and uniqueness theorem for a 3-dimensional polytope of R3 with prescribed directions and perimeters of the facets, Discrete Mathematics 343 (2020) 111770. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02298368
The Minkowski difference of two polytopes can be defined as a convolution product with respect to the Euler characteristic
(see above the paper Hedgehog theory via Euler Calculus)

Conférences

Quelques exposés :

  Les hérissons, séminaire de géométrie spinorielle de l’Université de Nancy I, Institut Elie Cartan, 19 juin 2001.  
  The Minkowski Problem for hedgehogs, « Contributed talk », dans la session « EDP et géométrie » du premier congrès AMS-SMF à l’ENS de Lyon, du 17 au 19 juillet 2001.  
  Examples of analytical problems related to hedgehogs (differences of convex bodies), Workshop on Convex Geometric Analysis , à Anogia (Crète), du 18 au 24 aout 2001.  
  La théorie des hérissons (différences géométriques de corps convexes) et ses applications, séminaire d’analyse de l’Université de Caen, le 26 mars 2002.  
  De l’utilité des hérissons (différences de corps convexes), séminaire Darboux de l’Université de Montpellier 2, le 21 février 2003.  
  Le problème de Minkowski étendu aux hérissons (différences géométriques de corps convexes), séminaire de géométrie de l’Université de Chambéry, le vendredi 4 avril 2003  
  The Minkowski Problem for hedgehogs (geometrical differences of convex bodies),  Workshop on Monge-Ampère type equations and applications (Banff en Alberta, Canada), le dimanche 3 août 2003.  
 Principles, problems ans new tools for hedgehog theory, ESI Program Rigidity and Flexibility, Workshop on Herissons and Virtual Polytopes, , Vienne, le vendredi 28 avril 2006.
  Dérivation des surfaces convexes de R3 dans l’espace de Lorentz et étude de leurs focales, séminaire de Géométrie de l’Université Paris-Diderot, le 10 Mai 2010.  
  Problème de Minkowski et questions de rigidité/flexibilité pour les hérissons,séminaire de Géométrie de l’Université Paris-Diderot, le 30 janvier 2012.  https://webusers.imj-prg.fr/~eric.toubiana/Expose-YM2.pdf
  Uniqueness results for the Minkowski problem extended to hedgehogs : Conférence plénière du « Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov », Saint-Pétersbourg, le 21 août 2012.  https://www.inspe-paris.fr/system/files/2021-06/saintpetersbourg.pdf
  Can hedgehogs be useful for Geometric Tomography ? : Lecture in the Workshop on « Geometric Tomography and Harmonic Analysis », Banff en Albarta (Canada), le 11 mars 2014. https://www.inspe-paris.fr/sites/www.espe-paris.fr/files/file_fields/2016/04/15/banff2014.pdf  
New insights on marginally trapped surfaces: the hedgehog point of view, séminaire de Géométrie de l’Université Paris-Diderot, le 22 janvier 2018. https://www.inspe-paris.fr/sites/www.espe-paris.fr/files/file_fields/2018/01/21/imjprggeometrie2018_0.pdf


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