Ce groupe de travail a d\u00e9but\u00e9 en 2025 et a pour but d’examiner les motifs d’Artin \u00e0 l’aide de la th\u00e9orie de l’id\u00e9al d’Eisenstein.<\/p>\n\n\n\n
Organisateur : E. Lecouturier, L. Merel<\/p>\n\n\n\n
Lieu : Campus des Grands Moulins, B\u00e2timent Sophie Germain, salle 633. Le lundi 16h-18h. \u00c0 partir de mars 2025, en ligne. \u00c0 partir du 27 mai, le mardi \u00e0 10h.<\/p>\n\n\n\n
6 janvier : L. Merel, Introduction<\/em> (notes disponibles sur demande)<\/p>\n\n\n\n 13 janvier : E. Lecouturier, Premiers exemples de calculs et conjectures<\/em> <\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Dans son premier expos\u00e9, Lo\u00efc Merel a d\u00e9crit un invariant $c_\u03c1$ provenant de la valeur critique (conjecturale) $L(\u03c1 \\otimes \\tilde \u03b5, s)$ en $s=1$, o\u00f9 $\\tilde{\u03b5}$ est la repr\u00e9sentation Galoisienne associ\u00e9e au module de Tate du quotient d’Eisenstein de $J_0(N)$ et \u03c1 est une repr\u00e9sentation d’Artin (sur Q<\/strong>). L’objectif de cet expos\u00e9 est de consid\u00e9rer quelques exemples de choix de \u03c1 (e.g. de dimension 1, 2 ou adjointe d’une forme de poids 1) et de voir ce que l’on peut prouver ou conjecturer concernant $c_\u03c1$ dans ces cas. On essaiera aussi de discuter les obstacles et id\u00e9es pour formuler une conjecture plus g\u00e9n\u00e9rale.<\/p>\n\n\n\n 20 janvier : E. Lecouturier, Premiers exemples de calculs et conjectures (partie 2)<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Dans la premi\u00e8re partie, nous avons consid\u00e9r\u00e9s le cas o\u00f9 la repr\u00e9sentation d’Artin \u03c1 est un caract\u00e8re de Dirichlet. Dans cette deuxi\u00e8me partie, nous consid\u00e9rons les cas o\u00f9 \u03c1 est induite d’un caract\u00e8re des classes de rayons d’un corps quadratique (r\u00e9el ou imaginaire). Nous rappellerons des formules sur les fonctions L dues \u00e0 Waldspurger (et Gross, Popa\u2026). En se basant sur ces exemples et sur des calculs num\u00e9riques de Pascal Molin (qui seront expliqu\u00e9s en d\u00e9tails dans un expos\u00e9 ult\u00e9rieur de Pascal), nous discuterons ensuite de potentielles conjectures dans les cas $d^-=0$ ou $d^+=0$.<\/p>\n\n\n\n 27 janvier : P. Molin, Evaluation num\u00e9rique de fonctions<\/em> L<\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Emmanuel a mentionn\u00e9 l’int\u00e9r\u00eat \u00e0 obtenir une valeur num\u00e9rique de L(F,\u03c1,1) pour tester ses conjectures. Je parlerai du probl\u00e8me de calcul num\u00e9rique de fonctions L en g\u00e9n\u00e9ral et de la technique de prolongement par \u00e9quation fonctionnelle et inversion de Fourier qui s’applique tr\u00e8s bien dans le cadre qui nous int\u00e9resse, et qui donne de solides garanties de validit\u00e9 num\u00e9rique y compris pour des fonctions L dont l’existence reste conjecturale.<\/p>\n\n\n\n Je d\u00e9crirai \u00e9galement les \u00ab\u00a0domaines de valeurs\u00a0\u00bb (degr\u00e9, conducteur, pr\u00e9cision) accessibles en pratique sur ordinateur, et les quelques probl\u00e8mes rencontr\u00e9s pour effectuer les calculs dans le cadre d’une courbe modulaire tordue par un caract\u00e8re de Hecke \u00e9voqu\u00e9 par Emmanuel.<\/p>\n\n\n\n 03 f\u00e9vrier : A. Maksoud, Conjectures de Stark p-adiques et th\u00e9orie d’Iwasawa<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Motiv\u00e9 par l’\u00e9tude de l’arithm\u00e9tique des formes de poids 1, j’introduirai dans cet expos\u00e9 un analogue p-adique de la conjecture de Stark. Tout comme la conjecture de Stark constitue un cas particulier \u00a0\u00bbexplicite\u00a0\u00bb de la conjecture de Beilinson, son analogue p-adique s’interpr\u00e8te comme un raffinement des conjectures de Beilinson p-adiques formul\u00e9es par Perrin-Riou et Benois. La preuve compl\u00e8te de cette conjecture reste hors de port\u00e9e, sa formulation supposant implicitement la conjecture de Stark. N\u00e9anmoins, la d\u00e9finition des r\u00e9gulateurs p-adiques et les L-invariants qui interviennent dans cette conjecture ressemble fortement \u00e0 celle de quantit\u00e9s mod p introduites dans les expos\u00e9s pr\u00e9c\u00e9dents. On peut donc esp\u00e9rer que la conjecture de Stark p-adique offrira un \u00e9clairage nouveau sur les conjectures r\u00e9cemment formul\u00e9es dans le cadre de ce groupe de travail. <\/p>\n\n\n\n 10 f\u00e9vrier : O. Fouquet, Le formalisme \u00e9quivariant et congruences entre valeurs sp\u00e9ciales<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Les conjectures \u00e9quivariantes sont une reformulation et g\u00e9n\u00e9ralisation due \u00e0 Kato des conjectures de Bloch-Kato sur les valeurs sp\u00e9ciales des fonctions L prenant en compte une action suppl\u00e9mentaire d’une alg\u00e8bre de coefficients. Un avantage de ce formalisme est qu’il est compatible avec la r\u00e9duction modulo un id\u00e9al de l’alg\u00e8bre des coefficients. Dans cet expos\u00e9, je pr\u00e9senterai ce formalisme, montrerai le lien avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et comment elle la g\u00e9n\u00e9ralise et terminerai par une utilisation de la compatibilit\u00e9 par congruence pour construire des \u00e9l\u00e9ments z\u00eatas pour les formes modulaires de poids 1. R\u00e9sum\u00e9 : Les conjectures que nous avons esquiss\u00e9es jusqu’\u00e0 pr\u00e9sent sont n\u00e9es de la conjecture de Harris\u2013Venkatesh (objet d’un groupe de travail en 2023). Nous rappellerons ce qu’est cette conjecture en termes \u00e9l\u00e9mentaires. Elle concerne la repr\u00e9sentation d’Artin associ\u00e9e \u00e0 l’adjointe d’une repr\u00e9sentation galoisienne associ\u00e9e \u00e0 une forme de poids 1. Nous donnerons un point de vue sur les invariants d\u00e9finis par Harris et Venkatesh en terme de la th\u00e9orie de Borisov\u2013Gunnells (qui permet d’\u00e9crire une forme modulaire de poids 2 comme comme combinaison quadratique de s\u00e9ries d’Eisenstein de poids 1), laquelle semble d\u00e9couler de la m\u00e9thode de Rankin-Selberg. Nous ferons le point sur les progr\u00e8s depuis 2023. Nous essaierons de donner quelques perspectives et de formuler quelques questions.<\/p>\n\n\n\n 24 mars : S. Deo, Harris-Venkatesh Conjecture and R=T theorems<\/em> I<\/p>\n\n\n\n Abstract: In this series of talks, we will begin with recalling the definitions of algebraic and analytic invariants arising from the conjecture of Harris and Venkatesh. We will then focus on the implication ‘if algebraic invariant vanishes then analytic invariant vanishes’. We will sketch a proof of this implication using R=T theorems of Calegari-Geraghty and Calegari. While sketching this proof, we hope to highlight the connection between Harris-Venkatesh conjecture and deformation theory of Galois representations. A brief self contained summary of the relevant deformation theory will also be included in the talks.<\/p>\n\n\n\n 31 mars : S. Deo, Harris-Venkatesh Conjecture and R=T theorems<\/em> II<\/p>\n\n\n\n 7 avril : R. Zhang, From mod p to p-adic Shimura classes and derived Hecke operators<\/em><\/p>\n\n\n\n Abstract: I will recall the construction of Shimura classes arising from the cover of X_1(p) over X_0(p) following Harris and Venkatesh. Then, I will report on in-progress work towards describing p-adic Shimura classes, defining derived Hecke operators on completed cohomology, and formulating a conjecture relating their eigenvalues to p-adic regulators of Stark units.<\/p>\n\n\n\n 5 mai : \u00c9. Studnia, Descente d’Eisenstein sur les corps de nombres, d’apr\u00e8s Mazur<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Nous expliquons la preuve par Mazur de la finitude du groupe de Mordell-Weil du quotient d’Eisenstein de J_0(N), o\u00f9 N est un nombre premier tel que X_0(N) ne soit pas de genre 0. Nous verrons que cette preuve peut \u00eatre ais\u00e9ment adapt\u00e9e pour borner le rang du groupe de Mordell-Weil de ce quotient d’Eisenstein sur des corps de nombres. On peut \u00e9galement obtenir des bornes analogues pour des tordues de ce quotient d’Eisenstein par des repr\u00e9sentations d’Artin.<\/p>\n\n\n\n 12 mai : B. Flanagan, Formule d’Ichino sur les valeurs centrales de fonctions L de produits triples<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Dans cet expos\u00e9, nous commencerons pas pr\u00e9senter rapidement les propri\u00e9t\u00e9s \u00e9l\u00e9mentaires de la fonction L d’un produit de trois repr\u00e9sentations cuspidales automorphes de GL_2, ainsi que leur incarnations dans les formes modulaires. Etant donn\u00e9e une alg\u00e8bre de quaternions D, la correspondance de Jacquet-Langlands associe \u00e0 une repr\u00e9sentation cuspidale de GL_2 une repr\u00e9sentation cuspidale de D. Apr\u00e8s un bref rappel \u00e0 propos des alg\u00e8bres de quaternions, nous donnerons plusieurs formules reliant la valeur centrale de notre fonction L aux formes trilin\u00e9aires sur les trois repr\u00e9sentations associ\u00e9es \u00e0 nos repr\u00e9sentations initiales par Jacquet-Langlands, du point de vue automorphe et pour les formes modulaire. Nous expliquerons enfin en quoi la formule d’Ichino unifie ces diff\u00e9rents formules \u00e0 priori concurrentes.<\/p>\n\n\n\n 19 mai : B. Flanagan, Formule d’Ichino sur les valeurs centrales de fonctions L de produits triples<\/em> II<\/p>\n\n\n\n 27 mai : F. Lemma, Repr\u00e9sentations d’Artin modulaires pour GSp(4), un exemple<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Apr\u00e8s un bref rappel sur le principe de fonctorialit\u00e9 de Langlands, je pr\u00e9senterai la construction de repr\u00e9sentations d’Artin \u00e0 valeurs dans le groupe symplectique GSp(4) associ\u00e9es \u00e0 certaines repr\u00e9sentations automorphes de GSp(4), suivant un travail de Kim et Yamauchi. En fait, les repr\u00e9sentations automorphes en question correspondent \u00e0 des formes modulaires de Siegel analytiques r\u00e9elles, notion qui sera d\u00e9finie dans la derni\u00e8re partie de l’expos\u00e9.<\/p>\n\n\n\n 3 juin : E. Lecouturier, Deux autres approches aux motifs d’Artin en l’id\u00e9al d’Eisenstein<\/em><\/p>\n\n\n\n R\u00e9sum\u00e9 : Le but de cet expos\u00e9 est de discuter de deux autres points de vue concernant le tordu d’un motif d’Artin par le quotient d’Eisenstein.<\/p>\n\n\n\n 11 juin : S\u00e9ance de probl\u00e8mes (fin du groupe de travail)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Ce groupe de travail a d\u00e9but\u00e9 en 2025 et a pour but d’examiner les motifs d’Artin \u00e0 l’aide de la th\u00e9orie de l’id\u00e9al d’Eisenstein. Organisateur : E. Lecouturier, L. Merel Lieu : Campus des Grands Moulins, B\u00e2timent Sophie Germain, salle 633. 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