Ce groupe de travail a débuté en 2025 et a pour but d’examiner les motifs d’Artin à l’aide de la théorie de l’idéal d’Eisenstein.
Organisateur : E. Lecouturier, L. Merel
Lieu : Campus des Grands Moulins, Bâtiment Sophie Germain, salle 633. Le lundi 16h-18h. À partir de mars 2025, en ligne. À partir du 27 mai, le mardi à 10h.
6 janvier : L. Merel, Introduction (notes disponibles sur demande)
13 janvier : E. Lecouturier, Premiers exemples de calculs et conjectures
Résumé : Dans son premier exposé, Loïc Merel a décrit un invariant $c_ρ$ provenant de la valeur critique (conjecturale) $L(ρ \otimes \tilde ε, s)$ en $s=1$, où $\tilde{ε}$ est la représentation Galoisienne associée au module de Tate du quotient d’Eisenstein de $J_0(N)$ et ρ est une représentation d’Artin (sur Q). L’objectif de cet exposé est de considérer quelques exemples de choix de ρ (e.g. de dimension 1, 2 ou adjointe d’une forme de poids 1) et de voir ce que l’on peut prouver ou conjecturer concernant $c_ρ$ dans ces cas. On essaiera aussi de discuter les obstacles et idées pour formuler une conjecture plus générale.
20 janvier : E. Lecouturier, Premiers exemples de calculs et conjectures (partie 2)
Résumé : Dans la première partie, nous avons considérés le cas où la représentation d’Artin ρ est un caractère de Dirichlet. Dans cette deuxième partie, nous considérons les cas où ρ est induite d’un caractère des classes de rayons d’un corps quadratique (réel ou imaginaire). Nous rappellerons des formules sur les fonctions L dues à Waldspurger (et Gross, Popa…). En se basant sur ces exemples et sur des calculs numériques de Pascal Molin (qui seront expliqués en détails dans un exposé ultérieur de Pascal), nous discuterons ensuite de potentielles conjectures dans les cas $d^-=0$ ou $d^+=0$.
27 janvier : P. Molin, Evaluation numérique de fonctions L
Résumé : Emmanuel a mentionné l’intérêt à obtenir une valeur numérique de L(F,ρ,1) pour tester ses conjectures. Je parlerai du problème de calcul numérique de fonctions L en général et de la technique de prolongement par équation fonctionnelle et inversion de Fourier qui s’applique très bien dans le cadre qui nous intéresse, et qui donne de solides garanties de validité numérique y compris pour des fonctions L dont l’existence reste conjecturale.
Je décrirai également les « domaines de valeurs » (degré, conducteur, précision) accessibles en pratique sur ordinateur, et les quelques problèmes rencontrés pour effectuer les calculs dans le cadre d’une courbe modulaire tordue par un caractère de Hecke évoqué par Emmanuel.
03 février : A. Maksoud, Conjectures de Stark p-adiques et théorie d’Iwasawa
Résumé : Motivé par l’étude de l’arithmétique des formes de poids 1, j’introduirai dans cet exposé un analogue p-adique de la conjecture de Stark. Tout comme la conjecture de Stark constitue un cas particulier »explicite » de la conjecture de Beilinson, son analogue p-adique s’interprète comme un raffinement des conjectures de Beilinson p-adiques formulées par Perrin-Riou et Benois. La preuve complète de cette conjecture reste hors de portée, sa formulation supposant implicitement la conjecture de Stark. Néanmoins, la définition des régulateurs p-adiques et les L-invariants qui interviennent dans cette conjecture ressemble fortement à celle de quantités mod p introduites dans les exposés précédents. On peut donc espérer que la conjecture de Stark p-adique offrira un éclairage nouveau sur les conjectures récemment formulées dans le cadre de ce groupe de travail.
10 février : O. Fouquet, Le formalisme équivariant et congruences entre valeurs spéciales
Résumé : Les conjectures équivariantes sont une reformulation et généralisation due à Kato des conjectures de Bloch-Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L prenant en compte une action supplémentaire d’une algèbre de coefficients. Un avantage de ce formalisme est qu’il est compatible avec la réduction modulo un idéal de l’algèbre des coefficients. Dans cet exposé, je présenterai ce formalisme, montrerai le lien avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et comment elle la généralise et terminerai par une utilisation de la compatibilité par congruence pour construire des éléments zêtas pour les formes modulaires de poids 1.
17 février : L. Merel, La conjecture de Harris–Venkatesh et la théorie de Borisov–Gunnells
Résumé : Les conjectures que nous avons esquissées jusqu’à présent sont nées de la conjecture de Harris–Venkatesh (objet d’un groupe de travail en 2023). Nous rappellerons ce qu’est cette conjecture en termes élémentaires. Elle concerne la représentation d’Artin associée à l’adjointe d’une représentation galoisienne associée à une forme de poids 1. Nous donnerons un point de vue sur les invariants définis par Harris et Venkatesh en terme de la théorie de Borisov–Gunnells (qui permet d’écrire une forme modulaire de poids 2 comme comme combinaison quadratique de séries d’Eisenstein de poids 1), laquelle semble découler de la méthode de Rankin-Selberg. Nous ferons le point sur les progrès depuis 2023. Nous essaierons de donner quelques perspectives et de formuler quelques questions.
24 mars : S. Deo, Harris-Venkatesh Conjecture and R=T theorems I
Abstract: In this series of talks, we will begin with recalling the definitions of algebraic and analytic invariants arising from the conjecture of Harris and Venkatesh. We will then focus on the implication ‘if algebraic invariant vanishes then analytic invariant vanishes’. We will sketch a proof of this implication using R=T theorems of Calegari-Geraghty and Calegari. While sketching this proof, we hope to highlight the connection between Harris-Venkatesh conjecture and deformation theory of Galois representations. A brief self contained summary of the relevant deformation theory will also be included in the talks.
31 mars : S. Deo, Harris-Venkatesh Conjecture and R=T theorems II
7 avril : R. Zhang, From mod p to p-adic Shimura classes and derived Hecke operators
Abstract: I will recall the construction of Shimura classes arising from the cover of X_1(p) over X_0(p) following Harris and Venkatesh. Then, I will report on in-progress work towards describing p-adic Shimura classes, defining derived Hecke operators on completed cohomology, and formulating a conjecture relating their eigenvalues to p-adic regulators of Stark units.
5 mai : É. Studnia, Descente d’Eisenstein sur les corps de nombres, d’après Mazur
Résumé : Nous expliquons la preuve par Mazur de la finitude du groupe de Mordell-Weil du quotient d’Eisenstein de J_0(N), où N est un nombre premier tel que X_0(N) ne soit pas de genre 0. Nous verrons que cette preuve peut être aisément adaptée pour borner le rang du groupe de Mordell-Weil de ce quotient d’Eisenstein sur des corps de nombres. On peut également obtenir des bornes analogues pour des tordues de ce quotient d’Eisenstein par des représentations d’Artin.
12 mai : B. Flanagan, Formule d’Ichino sur les valeurs centrales de fonctions L de produits triples
Résumé : Dans cet exposé, nous commencerons pas présenter rapidement les propriétés élémentaires de la fonction L d’un produit de trois représentations cuspidales automorphes de GL_2, ainsi que leur incarnations dans les formes modulaires. Etant donnée une algèbre de quaternions D, la correspondance de Jacquet-Langlands associe à une représentation cuspidale de GL_2 une représentation cuspidale de D. Après un bref rappel à propos des algèbres de quaternions, nous donnerons plusieurs formules reliant la valeur centrale de notre fonction L aux formes trilinéaires sur les trois représentations associées à nos représentations initiales par Jacquet-Langlands, du point de vue automorphe et pour les formes modulaire. Nous expliquerons enfin en quoi la formule d’Ichino unifie ces différents formules à priori concurrentes.
19 mai : B. Flanagan, Formule d’Ichino sur les valeurs centrales de fonctions L de produits triples II
27 mai : F. Lemma, Représentations d’Artin modulaires pour GSp(4), un exemple
Résumé : Après un bref rappel sur le principe de fonctorialité de Langlands, je présenterai la construction de représentations d’Artin à valeurs dans le groupe symplectique GSp(4) associées à certaines représentations automorphes de GSp(4), suivant un travail de Kim et Yamauchi. En fait, les représentations automorphes en question correspondent à des formes modulaires de Siegel analytiques réelles, notion qui sera définie dans la dernière partie de l’exposé.
3 juin : E. Lecouturier, Deux autres approches aux motifs d’Artin en l’idéal d’Eisenstein
Résumé : Le but de cet exposé est de discuter de deux autres points de vue concernant le tordu d’un motif d’Artin par le quotient d’Eisenstein.
- On a discuté précédemment du problème d’obtenir une formule conjecturale pour le « terme principal en l’idéal d’Eisenstein » de la valeur L en s=1 du motif tordu Artin-Eisenstein. Il est possible de répondre à cette question en termes de K-théorie cyclotomique dans le cas des caractères de Dirichlet pairs. Cela repose sur une conjecture de Sharifi que nous rappellerons.
- On peut, dans certain cas, théoriquement exprimer canoniquement la valeur L tordue précédente à l’aide du module supersingulier. Nous expliciterons ceci dans le cas d’une forme de poids 1 CM et auto-duale.
11 juin : Séance de problèmes (fin du groupe de travail)